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文章关键词:银河唯一官网1331,自反巴拿赫空间

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  一个赋范线性空间X称为次自反(Sub- reflexive),是指在其单位球面上达到范数的有界线性泛函f∈ X*全体在X*中关于范数拓扑稠。

  根据Bishop- Phelps定理容易看到,所有Banach空间都次自反,而对于不完备的赋范线性空间则可能次自反,也可能非次自反

  次自反空间 (sub-reflexive space)是自反空间概念的推广。设X是赋范线性空间,若X’中在X的闭单位球上达到范数的元素f的全体在X*中稠密(按范数拓扑),则称X是次自反的。每个巴拿赫空间都是次自反的。

  设X为非空集合,K为实数域(或复数域),如果在X的元素之间定义了加法运算“+”,K中的元素和X的元素之间定义了数乘运算“·”,并且这两个运算之间满足以下条件:

  (3)在X中存在唯一的元素θ(称为零元素),使得对一切x∈X,成立x+θ=x。

  (4)对于一切x∈X,存在唯一的x′,使得x+x′=θ(x′称为x的负元素记为-x)。

  (2)(α+β)·x=α·x+β·x,(α,β∈K,x∈X)。α·(x+y)=α·x+α·y,

  则(X,+,·)称为数域K上的线性空间(或向量空间)。线性空间中的元称为点(或向量)。如果K为实数域(或复数域),则(X,+,·)称为实线性空间(或复线性空间)。

  (3)一次绝对齐性。‖αx‖=αx,(∀α∈K,∀x∈X),则‖·‖称为线性空间X上的范数。

  当赋准范数的线性空间的准范数是范数时,该线性空间称为线性赋范空间(或称B空间)。

  设X为线性赋范空间,X*为X的共轭空间,将X*的共轭空间(X*)*记为X**,称X**为X的第二次共轭空间。

  设X为线性赋范空间,则算子τ:x→x**是X到X**的保范线)(αx+βy)**=αx**+βy**。(2)‖x**‖=‖x‖。

  算子τ:x→x**把X(同构)嵌入X**。为简单起见,往往不区别x与x**,把X与τ (X)视为同一,从而X⊂X**,并称τ为(自然)嵌入算子。

  Lp[X,∑,μ](1p+∞)是自反空间,而L[X,∑,μ]以及L∞[X,∑,μ]不是自反空间,特别Lp[a,b](1p+∞;a,b∈R)是自反空间而L[a,b]以及L∞[a,b]不是自反空间。

  设X为巴拿赫空间,则X为自反空间当且仅当X的任何闭子空间均为自反空间。

  1963年,R.C.James给出了关于自反空间的一个重要特征,指出一个Banach空间X自反的充要条件是X上全体有界线性泛函在其单位球面S上达到范数。如果一个Banach空间X不自反,则由R.C.James的结果,银河1331com登录一定存在X上有界线性泛函f∈ X*在其单位球面S上不能达到范数。那么对于一般Banach空间的有界线性泛函是否还有进一步特征呢? E.Bishop和R.Phelps证明了Banach空间X在其单位球面上达到范数的有界线性泛函f∈ X*全体在X*中一定稠。这一结论被称为Bishop- Phelps定理。根据这个定理,银河1331com登录赋范线性空间中的次自反概念也就随之产生。此外,一个一致凸Banach空间X一定自反,但其逆命题不真。这方面的一个结果是:如果自反Banach空间X的单位球面一致Eberlein紧(UEC),那么这个空间有一等价各向一致凸(URED)范数。

  巴拿赫空间是按范数导出的距离完备的赋范线性空间。设(X,‖·‖)为赋范线性空间.对x,y∈X,ρ(x,y)=‖x-y‖定义了X上的一个距离,使X成为度量空间。如果X按这个距离是完备的,就称X为巴拿赫空间。L(Ω)(1≤p≤+∞),C(Ω),c,c

  巴拿赫空间(含赋范空间)是1922年巴拿赫(Banach,S.)与维纳(Wiener,N.)相互独立提出的,并且在不到10年的时间内便发展为相当完美而又有多方面应用的理论.1932年,巴拿赫论述这部分理论的《线性算子理论》一书的问世,是泛函分析作为独立的数学分支出现的标志。巴拿赫空间至今仍是泛函分析研究的基本对象之一。

  M是赋范线性空间X的一稠子空间,则M的共轭空间M′等距同构于X的共轭空间X*。

  ,用 f表示f从M到X的保范延拓,银河1331com登录设T:f→ f‘,由保范延拓的唯一性,T是一个从M*→X*的连续映射。

  ,设f= gM是g在M上的限制,记S={x∈ H‖ x‖ = 1},由M在X中的稠性,可得:

  ‖ g‖ = supx∈ S{ g(x)}= supx∈ S∩ M{ g(x)}= supx∈ S∩ M{ f(x)}= ‖ f‖M,

  设X是一Banach空间,X*是它的共轭空间,记F(x)={f∈ X* f(x)= ‖ x‖²= ‖ f‖²},称F(x)为X上的共轭映象,又记F- 1(f)={x∈ X f(x)= ‖ x‖²= ‖ f‖²},称F- 1(f)为F(x)的逆映象。

  (3) F(x)单值且〈 F(x+ ty),y〉→〈 F(x),y〉对y一致,(t→ 0);

  (4)存在一个支撑函数o:X→X*,使得〈 y,o(x+ λy)〉→〈 y,o(x)〉对y一致,(λ→ 0);

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